公式の丸暗記に走ってしまいがちな人ほど、挫折しやすいように感じる単元です。
ここでは，何人かを，いろいろな方法で分ける方法について考えます。
問題文が「区別がつくものを，分ける」となっていれば，すべて同じです。
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例題 1 9 人を A，B，C の 3 部屋に分ける方法は何通りあるか。
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どの部屋から決めてもかまいません。(格言 6)
A の部屋に入る人の決め方は，9C3 通り
B の部屋には，残った 6 人から 3 人を選ぶから，6C3 通り
C の部屋には，残った 3 人全員が入るから，1 通り
| 以上より，9C3 × 6C3 = | 9・8・7・6・5・4 | = 1680 （通り）
| | 3・2・1・3・2・1
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部屋に分けてしまう前に，A，B，C の札を 3 枚ずつ用意しておき，9 人に配ることにすれば，
できた式は AAABBBCCC の並べ方（同じものを含む順列）と等しくなります。
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例題 2 9 人を A，B，C の 3 部屋に，それぞれ 5 人，2 人，2 人と分ける方法は何通りあるか。
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9C5 × 4C2 と計算しても良いですし，
「定員があるから AAAAABBC の並べ方と等しい」と考えてもかまいません。
どちらも等しく，756 通りとなりますが，ちょっと見方を変えて考えます。
決める順序は関係ない ことを利用すると，
C，B，A の順に分けても良いことになります。
C，B，A の順に分けると，式は 9C2 × 7C2 となります。最初の考え方と比べると…
| 9C2 × 7C2 = | 9・8・7・6
| | 2・1・2・1
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| 9C5 × 4C2 = | 9・8・7・6・5・4・3
5・4・3・2・1・2・1
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約分されて等しくなることが分かります。
このことから，人数の少ない部屋（箱）から決めるほうが，より効率的であるといえます。
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例題 3 9 人を 3 人ずつの 3 組に分ける方法は何通りあるか。
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例題 1 との違いは，部屋に区別が無くなることです。例題 1 では，
（a，b，c）（d，e，f）（g，h，i） と分けることと，
（d，e，f）（a，b，c）（g，h，i） と分けることは異なるものとして数えています。
「3 人ずつの 3 組に分ける」 だけでは，部屋 A，B，C の並べ方に区別がつかなくなりますから，
例題 1 で求めた 1680 通りを 3! で割ることになります。よって，
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例題 4 9 人を 5 人，2 人，2 人の 3 組に分ける方法は何通りあるか。
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例題 3 だけだと，一律に 3! で割る，と勘違いされそうなので，念押しです。
例題 2 のうち，2 ＋ 2 （人） に区別がなくなるので，
756 ÷ 2! = 378 （通り）
つかみ足りない向けの例題（大切なのは，式をたてることなので，計算は行いません。）
| 例題 4 - 2 12人を， 2 + 2 + 4 + 4 の 4 組に分ける方法は， | 12C2 × 10C2 × 8C4
| | 2! × 2!
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| 例題 4 - 3 9 人を， 2 + 2 + 2 + 3 の 4 組に分ける方法は， | 9C2 × 7C2 × 5C2
| | 3!
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(区別のつかない組)! で割り続けるのがコツです。
| 例題 5 | 区別のつく 9 個の玉を A，B の 2 箱に分ける。
空き箱があっても良いものとすると，その分け方は何通りあるか。
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ポイントは，何個入れても良いことに加え，空き箱があっても良いことです。
こうなると，全ての玉に対して，A ，B のどちらに入れても良いことになります。
2 通りずつの選択肢が，9 個の球すべてに与えられたので，29 = 512 (通り)
2 と 9 が逆に見える人は，重複順列の考え方を復習しましょう。
| 例題 6 | 区別のつく 9 個の玉を A，B の 2 箱に分けるとき，
空き箱ができないように分ける方法は何通りあるか。
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最も簡単な考え方は，例題 5 から条件を満たさないものを除くことです。
例題 5 のうち，条件を満たさないものは，
「全て A の箱に入る」ときと「全て B の箱に入る」の 2 通りだけです。
よって，29 − 2 = 510 (通り)
よくある誤答：「最初に玉を 2 個入れてしまえば？」
最初に玉を 2 個入れても良いのは，「区別のつかない玉を」 A，B の 2 箱に分けるときです。
玉には区別がつくので，先に 2 つの玉 a，b を入れてしまうと，
a と b が同じ箱になる場合を数え落とすことになります。
粘る人：「最初に分かれる 2 個を選んでしまえば？」
分かれる玉がa, b とした後，[ac]，b となる分け方と，
分かれる玉がc，b とした後，[ac]，b となる分け方は異なるとして考えてしまっています。
どちらの考え方も、すべての状況を網羅できれば正しくなりますが、それが面倒なのです・・・
「区別のつく、つかない」で混乱している人はこちらを読んでみてください。
| 例題 7 | 5 人を A，B，C の 3 部屋に分ける。
1 人も入らない部屋があって良いとすると，その分け方は何通りあるか。
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例題 5 が理解できれば簡単です。
35 = 243 (通り)
このことから，一般にも次のことが成り立ちます。
区別のつく n 個の球を，区別のつく r 個の箱に入れる。
空き箱があっても良いときの方法は，nr 通り
| 例題 8 | 異なる 5 個の玉を A，B，C の 3 箱に分けるとき，
空き箱ができないような分け方は何通りあるか。
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例題 6 と同様に，例題 7 から，条件を満たさないものを除く作戦に出ます。
| [A] | 全ての玉が同じ箱にあるとき
「すべての球をどの箱に集めるか」を決めるだけでよいから，3 通り
| | [B] | ちょうど 2 箱に入れるとき
例題 6 だけでは，空き箱が C のものしか数えません。
よって，空き箱となる箱の選び方（3 通り）をさらに掛けなくてはいけません。
よって，3 箱のうち，ちょうど 2 箱に入れる方法は，3×(25− 2) 通り
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以上より，求める分け方は，
35ー 3×（25− 2） ― 3 = 150 （通り）
n ≧ 3 のとき，区別のつく n 個の球を，区別のつく 3 個の箱に入れるとき，
空き箱を作らないように分ける方法は，
3n− 3（2n）− 3
= 3n− 3 × 2n + 3 （通り）
ｍ人をｎ部屋に空き部屋なく分ける問題の深入り
ｍ人をｎ部屋に空き部屋なく分ける方法の計算機
| 例題 9 | 9 人を A，B，C の 3 部屋に 3 人ずつ分けるとき，
a さんと b さんの入る部屋が異なるように分ける方法は何通りあるか。
(補足： a さんと b さんは 9 人のうちの 2 人，と解釈してください)
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a さんが入る部屋の決め方は，3 通り
b さんが入る部屋の決め方は，2 通り
残った 7 人が入る部屋の決め方は，7C2 × 5C2通り
以上より，3 × 2 × 7C2 × 5C2 = 1260 （通り）
| 例題 10 | 9 人を 3 人ずつの 3 組に分けるとき，
a さんと b さんが異なる組となるような分け方は何通りあるか。
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残りの 7 人を 2 人，2 人，3 人と分けるのですが，
すでに「a さんの組」「b さんの組」と区別がついています。
よって，7C2 × 5C2 = 210 （通り）
勿論，例題 9 を 3! で割っても良いのですが，わざわざ例題 9 を持ち出す必要はなさそうです。
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