n 個のボールを，3 つの箱に分けます。空箱があっても良いとするとき，
ボールと箱のそれぞれに区別がつくかどうかで，どのように式が変化するのかまとめます。
n 個の球を自由に 3 つの箱に入れることができるから，3n 通り （→参考）
| 設定 2 ボールの区別はないが，箱には区別がつくとき
|
A + B + C = n を満たす，負でない整数解の個数と等しくなります。これより，
|
n + 2C2 = | (n + 2)(n + 1) | 通り
| | 2
|
| 設定 3 ボールの区別はつくが，箱には区別がつかないとき
|
設定 1 は奇数なので，一律に 3! で割ることはできません。
そこで，次のように場合分けします。
[A] 全部 1 つの箱に入れるとき
例えば，n + 0 + 0，0 + n + 0，0 + 0 + n に区別がつかないので 1 通り
[b] ちょうど 2 つの箱に入れるとき
仮に区別がつくとすると，2n ー 2 通り （→参考）
n = 3 で例えると，ab，c と入った場合と c，ab と分けられたものに区別がつかなくなりますから，
| 2n ー 2 | = 2n ー 1 ー 1 (通り)
| | 2
|
[C] 3 箱すべてに玉があるとき
仮に区別がつくとすると，3n ー 3 × 2n + 3 通り （→参考）
これらに区別がつかなくなるので，
| 3n ー 3 × 2n + 3 | = | 3n ー 1 + 1 | ー 2n ー 1 （通り）
| | 6! | 2
|
[A] + [B] = 2n ー 1 であり，これに[C] の結果を加えると，2n ー 1 が相殺されます。よって，[C] の
| 3n ー 1 + 1 | のみが残ります。
| | 2
|
設定 2 のうち
（４）ボールも箱も区別がつかないとき
最も難しい問題と思います。
例えば，n = 6 のときを数え上げると，
「0 + 0 + 6」「0 + 1 + 5」「0 + 2 + 4」「0 + 3 + 3」「1 + 1 + 4」「1 + 2 + 3」「2 + 2 + 2」の 7 通りです。
箱に区別がついた設定 2 からどのように割ればよいのでしょうか…
状況を整理すると，次のとおりです。
[A] A = B = C となるとき
[B] A = B かつ，A ≠ C となるとき
[C] A < B < C がすべて異なるとき
|
不勉強なので，しらみつぶしに場合分けしたことがあるので，そのことをまとめておきます。
もっとスマートに式が作れるはずですが，これから研究したいと思います。
なお、箱の数を一般化する式は，未解決問題の 1 つとなっています。
|