トーナメントの組合せ

スポーツの大会でよく行われるトーナメントですが、その組合せは一体何通りあるのでしょう？

ここでは、Ａ～Ｈの８チームが参加をするとします。
トーナメントの表も，次の図の通りであるとします。

例題１１回戦から決勝の全ての試合において，右が一塁側、左が三塁側と区別をつけるときの組み分けの方法は何通りか。
８チームの野球のトーナメントの、フリー抽選の状態を想定しています。
８チームがどこに入っても区別がつくので，８！＝40,320通りとなります。

例題２８チームが対等で、ａｂｃｄそれぞれの左右に区別はつけないが、ａｂｃｄには区別があるときの組み分けの方法は何通りか。
サッカーのトーナメント（ホームでもアウェイでもない会場での開催）がこのような感じでしょうか。
１会場での同時開催は不可能だが、２チーム区別はつけないようなときの設定です。
この設定の場合は部屋割り問題と同様に考えると簡単です。
₈Ｃ₂×₆Ｃ₂×₄Ｃ₂＝2520通りです。

例題３８チームが対等で、ａとｂ，ｃとｄ，ｅとｆには区別をつけないときの組み分けの方法は何通りか
剣道や卓球などのように、１会場での同時開催が可能な場合はこれになります。
例題２に対して、上記３つの２³通り分に区別がつかなくなるので，2520／８＝３１５通りになります。
それでは、さらに条件を付け加えてみましょう。

例題４ＡとＢが決勝まで当たらないような組合せは何通りか。
シード制などでは、このような条件がつくと思います。
１回戦から決勝の全ての試合において，右が一塁側、左が三塁側と区別をつけるとき
Ａの決め方は８通りありますが、Ｂは別の山に入るので４通りに減ります。
あとの６チームは普通の順列になるので，８×４×６！＝23,040通りになります。
ａｂｃｄそれぞれの左右に区別はつけないが、ａｂｃｄには区別があるとき
Ａの決め方はａｂｃｄからの４通り、Ｂの決め方は２通りになります。
残った６チームのうち、Ａと当たるチームが６通り、Ｂと当たるチームが５通り、
残りは₄Ｃ₂通りとなるので、
４×２×６×５×６＝1,440通りになります。
ａとｂ，ｃとｄ，ｅとｆには区別をつけないとき
Ａはａ，Ｂはｄに入ると決めて良く、ｅとｆに区別がつかないので１通りです。
このように決めると、自動的にａｂｃｄに区別がつけられるので、
６×５×₄Ｃ₂＝１８０通りとなります。

例題５ＡとＢがＰ県、ＣとＤがＱ県、ＥとＦがＲ県、ＧとＨがＳ県の代表で、
同じ県代表ののチーム同士が決勝まで当たらないようにする組合せは何通りか。
どの設定においても，ＰＱＲＳを２つずつ用意し、ａとｂで１個ずつ、ｃとｄで１個ずつ振り分けます。
１回戦から決勝の全ての試合において，右が一塁側、左が三塁側と区別をつけるとき
ＰＱＲＳのそれぞれの並び方は４！通りずつあり、
ＰＱＲＳが決まれば、各々に２通りずつの分け方があると考えれば良く、
（４！）²×２⁴＝9,216通りとなります。
ａｂｃｄそれぞれの左右に区別はつけないが、ａｂｃｄには区別があるとき
ａとｂでＰＱＲＳを組み分ける方法は₄Ｃ₂通りあり、
ｃとｄでも同様。その後は各々に２通りずつの分け方があるので、
６²×２⁴＝576通りとなります。
ａとｂ，ｃとｄ，ｅとｆには区別をつけないとき
例題４と同様、Ａはａ，Ｂはｄに入ると決めて良く、これは１通りです。
初戦でＡ（Ｂ）と当たる県はそれぞれ３通りずつあり、
当たらない県どうしは自動的に決まる。
また、ＱＲＳ３県の代表それぞれに、Ａの山に入るかＢの山に入るかの２通りずつがあるので、
３²×２³＝７２通りとなります。
関連項目；トーナメントの優勝確率について

ちなみに、夏の高校野球の組合せですが、
東ブロックの２４校と、西ブロックの２５校に別れ、
同地区が１回戦で当たらないように抽選します。
この場合の抽選結果の場合の数は２５！×２４！ですから、実に9.62×10⁴⁸通りあります。
１塁側と３塁側に区別をつけてしまうと、さらに２²⁴倍ですから、1.61×10⁵⁶通りに跳ね上がります。
9.62×10⁴⁸通りの全てを、厚さ0.1ミリの薄い紙に１枚ずつ書いて重ねると、
１光年を9.46×10¹⁵メートルとしても、1.01×10²⁹光年に達します。
宇宙の大きさは150億光年と推定されていますが、
それでも3.30×10¹⁸個分になります。膨大すぎる・・・
１枚10秒の速さで書けたとしても、1.82×10⁴⁴年、
宇宙の歴史が130億年だとすると8.80×10³⁴回繰り返さなくてはいけないそうです。
単純に同じ県の組合せ、と考えた場合は西ブロックを固定します。
それでも２５！＝1.55×10²⁵通りの組合せがありますから、
同じ要領で厚さ１ミリの紙に書いていくと、79,708光年になります。
銀河系の直径がおよそ10万光年ですから、まあ、そのような感じです（意味不明）
例えば大阪代表と神奈川代表が初戦でぶつかる確率だけだったら、１／２５となりますから、
普通は２５年周期で考えるのでしょうけど・・・

例題１	１回戦から決勝の全ての試合において，右が一塁側、左が三塁側と区別をつけるときの組み分けの方法は何通りか。８チームの野球のトーナメントの、フリー抽選の状態を想定しています。８チームがどこに入っても区別がつくので，８！＝40,320通りとなります。
例題２	８チームが対等で、ａｂｃｄそれぞれの左右に区別はつけないが、ａｂｃｄには区別があるときの組み分けの方法は何通りか。サッカーのトーナメント（ホームでもアウェイでもない会場での開催）がこのような感じでしょうか。１会場での同時開催は不可能だが、２チーム区別はつけないようなときの設定です。この設定の場合は部屋割り問題と同様に考えると簡単です。 ₈Ｃ₂×₆Ｃ₂×₄Ｃ₂＝2520通りです。
例題３	８チームが対等で、ａとｂ，ｃとｄ，ｅとｆには区別をつけないときの組み分けの方法は何通りか剣道や卓球などのように、１会場での同時開催が可能な場合はこれになります。例題２に対して、上記３つの２³通り分に区別がつかなくなるので，2520／８＝３１５通りになります。それでは、さらに条件を付け加えてみましょう。
例題４	ＡとＢが決勝まで当たらないような組合せは何通りか。シード制などでは、このような条件がつくと思います。１回戦から決勝の全ての試合において，右が一塁側、左が三塁側と区別をつけるときＡの決め方は８通りありますが、Ｂは別の山に入るので４通りに減ります。あとの６チームは普通の順列になるので，８×４×６！＝23,040通りになります。ａｂｃｄそれぞれの左右に区別はつけないが、ａｂｃｄには区別があるときＡの決め方はａｂｃｄからの４通り、Ｂの決め方は２通りになります。残った６チームのうち、Ａと当たるチームが６通り、Ｂと当たるチームが５通り、残りは₄Ｃ₂通りとなるので、４×２×６×５×６＝1,440通りになります。ａとｂ，ｃとｄ，ｅとｆには区別をつけないときＡはａ，Ｂはｄに入ると決めて良く、ｅとｆに区別がつかないので１通りです。このように決めると、自動的にａｂｃｄに区別がつけられるので、６×５×₄Ｃ₂＝１８０通りとなります。
例題５	ＡとＢがＰ県、ＣとＤがＱ県、ＥとＦがＲ県、ＧとＨがＳ県の代表で、同じ県代表ののチーム同士が決勝まで当たらないようにする組合せは何通りか。どの設定においても，ＰＱＲＳを２つずつ用意し、ａとｂで１個ずつ、ｃとｄで１個ずつ振り分けます。１回戦から決勝の全ての試合において，右が一塁側、左が三塁側と区別をつけるときＰＱＲＳのそれぞれの並び方は４！通りずつあり、ＰＱＲＳが決まれば、各々に２通りずつの分け方があると考えれば良く、（４！）²×２⁴＝9,216通りとなります。ａｂｃｄそれぞれの左右に区別はつけないが、ａｂｃｄには区別があるときａとｂでＰＱＲＳを組み分ける方法は₄Ｃ₂通りあり、ｃとｄでも同様。その後は各々に２通りずつの分け方があるので、６²×２⁴＝576通りとなります。ａとｂ，ｃとｄ，ｅとｆには区別をつけないとき例題４と同様、Ａはａ，Ｂはｄに入ると決めて良く、これは１通りです。初戦でＡ（Ｂ）と当たる県はそれぞれ３通りずつあり、当たらない県どうしは自動的に決まる。また、ＱＲＳ３県の代表それぞれに、Ａの山に入るかＢの山に入るかの２通りずつがあるので、３²×２³＝７２通りとなります。関連項目；トーナメントの優勝確率について
ちなみに、夏の高校野球の組合せですが、東ブロックの２４校と、西ブロックの２５校に別れ、同地区が１回戦で当たらないように抽選します。この場合の抽選結果の場合の数は２５！×２４！ですから、実に9.62×10⁴⁸通りあります。１塁側と３塁側に区別をつけてしまうと、さらに２²⁴倍ですから、1.61×10⁵⁶通りに跳ね上がります。 9.62×10⁴⁸通りの全てを、厚さ0.1ミリの薄い紙に１枚ずつ書いて重ねると、１光年を9.46×10¹⁵メートルとしても、1.01×10²⁹光年に達します。宇宙の大きさは150億光年と推定されていますが、それでも3.30×10¹⁸個分になります。膨大すぎる・・・１枚10秒の速さで書けたとしても、1.82×10⁴⁴年、宇宙の歴史が130億年だとすると8.80×10³⁴回繰り返さなくてはいけないそうです。単純に同じ県の組合せ、と考えた場合は西ブロックを固定します。それでも２５！＝1.55×10²⁵通りの組合せがありますから、同じ要領で厚さ１ミリの紙に書いていくと、79,708光年になります。銀河系の直径がおよそ10万光年ですから、まあ、そのような感じです（意味不明）例えば大阪代表と神奈川代表が初戦でぶつかる確率だけだったら、１／２５となりますから、普通は２５年周期で考えるのでしょうけど・・・