| 問題 | サイコロを１つ振り、 出た目によって座標平面上の点Ｐを以下のルールで動かす。 最初に点Ｐは原点にあるとするとき、次の問いに答えよ。 １の目が出たらｘ軸の正の方向に１進む。 ２または３の目が出たらｘ軸の負の方向に１進む。 ４の目が出たらｙ軸の正の方向に１進む。 ５または６の目が出たらｙ軸の負の方向に１進む。 [1] ２回サイコロを振った後に原点に戻る確率を求めよ。 [2] ４回サイコロを振った後に原点に戻る確率を求めよ。 [3] ４回サイコロを振った後に点Ｐが座標(１，１)にある確率を求めよ。 |
これはさいころによる数直線運動の応用問題です。
ただし、一般の反復試行が、対象とする事象が２通りであるのに対し、こちらは４通りです。
それでも、まったく同様に考えていきます。お約束の準備として、事象を上から順に
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけます。ここまでをヒントにして、考えてみましょう。
| [1] | ｘ軸上のみを動いて戻る確率とｙ軸上のみを動いて戻る確率を考えます。 | |
| ｘ軸上を動くときは、ＡＢが1回ずつ出れば良いので、２×(１／６)×（１／３）＝１／９です
今までの反復試行と大きく異なるのは、２つの確率（１／６と１／３）を足しても１にならないことですが、 まったく構わずに公式どおり計算してよいのです。 ｙ軸上を動く時も同様に確からしいので、２倍すれば、全部で２／９となります。 | ||
| [2] | 次のように場合分けします。 | |
| (i) | ｘ軸上のみを動くとき | |
| もちろん、Ａ，Ｂ２回ずつですから、4Ｃ2(１／６)2(１／３)2＝６／１８2です。
すぐに約分しないように！ | ||
| (ii) | ｙ軸上のみを動く時 | |
| (i)と同じなので、これも６／１８2です。 | ||
| (iii) | Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ１回ずつ出るとき | |
| 1回ずつ出れば、どんな順番でも原点に戻るので、
４！×(１／６)×(１／６)×(１／３)×(１／３)＝２４／１８2となります。 以上の３つの確率全てが６／１８2を含んでいることに注意すれば、 ６(１＋１＋４)／１８2＝６・６／１８2＝１／９となります。 | ||
| [3] | とりあえずまっすぐ(１，１)に向かうには、ＡＣ各一回ずつでなくては行けません。 | |
| その後、ＡＢと出るか、ＣＤと出るかです。
ＡＣＡＢと出る時、順番も考慮すれば、 ４！／２！(１／６)2(１／６)(１／３)＝６／６・６・３＝１／１８ ４！／２！は、ＡＡＢＣの並べ方(同じ物を含む順列)です。 ＡＣＣＤと出る時も同様に確からしいので、（１／１８）×２＝１／９となります。 [2]と同じ確率になるのは、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの設定による偶然で、設定を （例えばＢ：２が出るとｘ軸の負の方向、Ｃ：３，４が出るとｙ軸の正の方向などのように）変えれば、 [2]と[3]の確率は異なるものになると思います。
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