サイコロによる平面移動の拡張

問題サイコロを１つ振り、出た目によって座標平面上の点Ｐを以下のルールで動かす。

最初に点Ｐは原点にあるとするとき、２ｎ回後に原点に戻る確率を求めよ。

１の目が出たらｘ軸の正の方向に１進む。

２または３の目が出たらｘ軸の負の方向に１進む。

４の目が出たらｙ軸の正の方向に１進む。

５または６の目が出たらｙ軸の負の方向に１進む。

お約束の準備として、事象を上から順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけます。

ここで、公式から、

が成り立つので、

求める確率は(2nＣn)²／１８ⁿ

どうでしょう、こんなにきれいになりました。

なお、３次元への拡張も行えるようですが、奇麗な公式は作れなさそうです。