| 定義
| いくつかのものを，ひとまとめにしたものを集合という。
また，集合 A に対して，a というものが A の中に属するとき，
a は集合 A の要素である，といい，記号で a ∈ A と書く。
さらに，b というものが A に属さないとき，記号で b  A と書く。
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例：東京都民全員の集合を A，神奈川県民全員の集合を B とします。
a さんが東京都民のときは，a ∈ A であり，a B です。
集合の表し方
どの方法も，中カッコ｛｝で挟まなくてはいけまん。
集合 A を，1 桁の自然数全体の集合とするとき，次の方法があります。
| (1) | すべての要素を列挙する方法
A = {1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}
| | (2) | 「代表選手」で表す方法
A = { x | 1 ≦ x ≦ 10，x は整数}
｛（使われる文字） | （その文字の性質）｝と読みます。
これを日本語に訳すと，おおむね次のようになります。
「ｘは， 1 以上 10 以下を満たす整数」
この文章の「，」の部分が「 | 」になります。
例：B = { 2n + 1 | 1 ≦ n ≦ 10，n は整数}
1 ≦ n ≦ 10 を満たす整数を，2n + 1 に代入します。よって，集合 B を列挙すると，
B = {3，5，7，9，11，13，15，17，19，21} となります。
この表し方は，列挙することができない集合を表すときに有効です。
例：C = { x | 1 ≦ x ≦ 10，x は有理数}
集合 C の要素には 1.35，5/3 などがあり，列挙不可能です。
例：D = { x | 1 ≦ x ≦ 100，x は整数}
列挙できてもそれが面倒なときにも便利ですね。 |
規則性がつかめれば D = {1，2，3，4，…，100｝と中略してもかまいません。
A，B，D のように，何個あるか分かる集合を，有限集合，
C のように，要素の個数が無数にある集合を，無限集合といいます。
例：E = { x | x は正の奇数}
これも，キリがないので無限集合の 1 つです。
| 定義
| 集合 A のすべての要素が集合 B の要素であるとき，
集合 A は集合 B の部分集合である，といい，記号で A ⊂ B と書く。
また，集合 A と集合 B の要素が完全に一致するとき，
集合 A と集合 B は等しい，といい，記号で A = B と書く。
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「∈」と「⊂」の違い
相手が要素（これ以上分けることができないもの）に対しては「∈」，
相手も集合であるときが「⊂」です。
例えば，（会津若松市）⊂（福島県）という感じです。
「会津若松市民全体」は，まだ集合ですから・・・
| 定義
| 2 つの集合 A，B に対して，
A にも B にも属する要素全体の集合を積集合（共通部分）といい，記号で A ∩ B と書き，
A または B の少なくとも一方に属する要素全体の集合を和集合といい，記号で A ∪ B と書く。
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イメージは下の図のとおりです。
| A ∩ B | A ∪ B
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|---|
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|---|
例： A = {1，3，5}，B = {2，3，6} のとき，A ∩ B ={3}，A ∪ B = {1，2，3，5，6}
和集合について，共通部分があっても，上の例のように，1 度しか書かない約束になっています。
また， 2 つの集合はいつも共通部分があるとは言えません。（例：郡山市と，福島市）
つまり，要素のない集合も，ありえるのです。
要素のない集合を空集合といい，慣例的に記号でφと表します。
例： A = {1，3，5}，B = {2，4，6} のとき，A ∩ B = φ
| 定義
| 集合 A に対して，A に属さない要素の集合を，A の補集合といい，記号で A と書く。
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これだけだと，どんな A に対しても A の補集合は無限集合となってしまいます。
また，一般的にも，数学の世界では，ある集合の中に「ふたをして」話を進めることがほとんどです。
| 定義
| ある集合の中でしか要素を考えないとき，その要素全体の集合を，全体集合 という。
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Universal Set の頭文字から，慣例的に U と表します。
U を全体集合としたとき，U の部分集合 A に対して，次のことが成り立ちます。
A ∩ A = φ， A ∪ A = U，集合 A の補集合は A
Aのイメージ図は下のとおりです。
A，B が U の部分集合のとき， A が伴うと少し難しくなるようです。
| 記号： | 意味
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|---|
| A ∩ B： | A でないが B である。
| | A ∪ B： | A でない,または B である。
| | A ∩ B： | A でも B でもない。
| | A ∪ B： | A でない,または B でない。
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特に，∪のほうは言われもピンと来ない人が多い印象があります。
下の集合や記号の上にあるボタンをいろいろ押して、変化を観察しましょう。
上のボタンをいろいろ押しているとド・モルガンの法則が成り立つことも分かります。
3 つ以上の集合の共通部分や和集合を考えるときは，カッコをつけないと意味不明になります。
例えば A ∩ B ∪ C は意味不明（このような表記をすること自体が誤り）です。
カッコのつけ方を変えると，次のように，塗られる場所が異なってしまうからです。
| (A ∩ B) ∪ C | A ∩ (B ∪ C)
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|---|
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ただし，3 つの集合の共通部分 A ∩ B ∩ C と，和集合 A ∪ B ∪ C は，誤解を生まないので，カッコが不要です。
集合の要素の個数
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