n 個から r 個とる組合せは，nCr です。
組合せの基本で述べたことをもとに，定理を紹介します。
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二項定理 (a + b)n の展開式における，arbn−r の項の係数は，nCr
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まず，(a + b)4 の展開式における，a2b2 の項の係数を考えてみましょう。
理解のポイントは，本当に展開してしまうのではなく，次のように並べて考えることです。
このスライドの順に，aabb，abab，abba，baab，baba，bbaa と出現します。
積の順をアルファベット順に並べると，すべて a2b2 となります。
| この並べ方は， | 4! | つまり，4C2 通りです。
| | 2!2!
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一般にも，(a + b) をn 回掛けたとき，a を r 回選ぶと，残りの n−r 回は自動的に b が選ばれるので，
(a + b)n の展開式における，arbn−r の項の係数は，nCr となります。
このことから，nCr は二項係数と呼ばれることがあります。
パスカルの三角形
二項係数を並べると，次のようになります（好きなだけ増やすことができます）。
左(右)から２番目の数が，何段目であるかを示してます。
| これより，(a + b)n = | n
Σ
r = 0nCr arbn−r
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ちなみに，Σの記号は，「r = 0 から，r = n となるまで足しなさい」という命令記号です。
さらにこの図を眺めていると，両端以外は，その上の数の和になっていることに気づくと思います。このことから，
nCr + nCr + 1 = n + 1Cr + 1 も成り立ちます。
二項定理のその他の定理やその数式的な深入りは別ページで扱うことにして，
ここでは二項定理の基本的な問題を紹介します。
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例題 1 (a + b)7 の展開式における，a3b4 の項の係数を求めよ。
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二項定理より，7C3 = 35
くどいようですが，残りの 4 回は自動的に b を選んでいるので，考える必要はありません。
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例題 2 (a + b + c)7 の展開式における，a2b3c2 の項の係数を求めよ。
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カッコの中の項が 3 つ以上になったときは，同じ文字を含む順列の考え方が威力を発揮します。
つまり，aabbbcc の並べ方と等しく，実は私も，「数字を使い切る」ほうが好きなので，次のように計算します。
| 7! | = | 7・6・5・4 | = 210
| | 2!3!2! | 2・2
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一般にも次の定理が成り立ちます。
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多項定理 (a + b + c)n の展開式における，ap bq cr （ただし，p + q + r = n）の項の係数は
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この定理は，カッコの中が 4 項以上であっても，同様に成り立ちます。
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例題 3 | (2a −b)7 の展開式における，次の項の係数をそれぞれ求めよ。
(1) a3 b4
(2) a2 b5
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2a = x，−b = y とおいて，例題 1 と同様に考えてみます。
| (1) | (x + y)7 の展開式における，x3 y4 の係数は，7C3 = 35
ここで，x3 y4 = (2a)3 (−b)4 = 8a3 b4 ですから，求める項の係数は，
35 × 8 = 280 となります。
つまり，考える項の対象の係数が 1 でないときは，その係数を連動させる必要が出ます。
| | (2) | (1) の考え方をもとに一気に計算式を作ると，
7C2 × 22 × (-1)5 = -84
忘れ物になりやすい、「各項の係数を連動させる」ことを先に計算しても良いでしょう。
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例題 4 | (2a + b − c)7 の展開式における，a2 b2 c3 の項の係数を求めよ。
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例題 2，3 の融合問題です。これらの考え方より，求める係数は，
| 7! | × 22 × 12× (-1)3 = -840
| | 2!2!3!
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例題 5 |  の展開式における，次の項の係数をそれぞれ求めよ。
(1) x2
(2) 定数項
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指数法則を理解した後でないと，難しいかもしれませんが…
 であることを用い，「2x」を k 回使ったときの，x の指数を仮に求めておきます。
| (1) | 2k −8 = 2 を解くと，k = 5 ですから，求める係数は，
8C5 × 25 × (−1)3 = −1792
| | (2) | 突然定数項と言われると驚くかもしれませんが，このときは指数が 0 のときと理解してください。
2k −8 = 0 を解くと，k = 4 ですから，求める係数は，
8C4 × 24 × (−1)4 = 1120
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