お菓子のおまけを全て揃えるには？

この問題は東工大２年、川喜田さんが投稿してくださった問題です。
これが原文で、期待値でなく、「ｎ回目で揃う確率」とした問題はこちらで扱いました。
さて、期待値となると何が難しいかというと、
いくら２種類でも運が悪ければ１００個、２００個と買いつづけなければならない可能性もあるからです。
早い話が、無限級数の問題になってしまうわけです。
無限級数に関してこちらに収めておきました。
特に後者の（等差数列）×（等比数列）型の無限級数の知識が必要となりますから、
事前に必ず読んでおくことをお勧めします。

まずは３種類に挑戦したいと思います。
さて、ｎ回目で揃う確率は、でした。
よって、求める期待値は、

ここで、無限級数の公式を用いると、

(おわり)

それでは、今度は４種類の場合を考えてみましょう。

この予想が正しいかは疑問が残りますが、正しいとして続けます（笑）

これを更に簡単にできるのかどうかが分からず止まってしまいした。
あとはコンピュータにお任せすれば（For Loopを作ることで）計算できます。
なお、１−２−３マクロによれば、次のようになるようです。

種類	個数の期待値
3	5.5
4	8.333
5	11.42
10	29.29
50	224.96
100	508.60
1000	2.82*10110

この解法の問題点
　出てきた式が正しいかどうかの保証がない。
　正しいとしても、特定の値を代入して走らせると負の値が出て不具合となる。

悩んでいたところに救世主、pekarinさんが登場!!
発想の転換…あるおまけが当たるまでの期待値を考える。

この式はこれ以上は簡単にできないのですが、先ほどの計算結果と比べるとどうなるでしょうか？

種類	個数の期待値
	私の式	pekarinさんの式
3	5.5	5.5
4	8.333	8.333
5	11.42	11.42
10	29.29	29.29
50	224.96	224.96
100	508.60	518.73
1000	2.82*10110	7485.5

見ての通り、50種類までは綺麗に同じ値になりました。
100種類以降は明らかに私の式のほうが誤りだと思います。
ただ、これはプログラム上のエラーと思われますので、式としては私のものとpekarinさんのものは同じであると思います。
（誰か証明して〜〜〜（笑））
たった1000種類で2.82*10¹¹⁰個買わなくてはいけないというのは明らかに非現実的ですからね。
pekarinさんの式で計算した方がプログラム的にも正確であることは間違いありません。