期待値について
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期待値を一口に言ってしまうと，「試行の結果，考察したい事象」の平均ですが、少し前置きを書かせてください。 |
定義（「数Ａ的」だと）
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ある試行 T において，観察したい値がちょうどn 種類あり， その値 x1，x2，x3，…，xn のどれかが必ず起きて， それぞれが起こる確率が p1，p2，p3，…，pn であるとき， この値の期待値を次の式で定義する。 E(X) = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + … + xn pn ただし，p1 + p2 + p3 + … + pn＝1 |
まだ数列(記号∑)を習っていない数学Ａではこれが精いっぱいですが，数学Ｂ以降では次のようになります。
定義（一般には? ）
前置きも少し長いので，数Ａを学んでいる最中の方は読み飛ばして大丈夫です。
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一見難しそうな式ですが、よく考えてみるとこれは平均値と同じ計算方法です。 あくまで個人的な解釈ですが、「観測された(過去の)データ」を集計をするのが平均値であり、 「やってもいないこと(未来予測)の平均」が期待値と分けて考えています。
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| 例題 1 1 つのさいころを 1 回振るとき，出る目の期待値を求めよ。 |
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一般の定義をこの問題で説明しなおすと，確率変数 X は「出る目」のことです。 例題 1 を表にまとめると，次のとおりです。(この表のことを確率分布，といいます)
求める期待値は，
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| 例題 2 100円硬貨と50円硬貨を1枚ずつ投げ，表が出た硬貨がもらえるとすると，もらえる金額の期待値はいくらか。 |
期待値計算は，確率分布の表を作ると楽になることがあります。
一般の教科書に対抗するようですが，縦と横は逆にしたほうが分かりやすいと，私は思っています。
| 金額(①) | その確率(②) | ①×② (円)
| 150円 | 1 | 4 150 | 4 100円 | 1 | 4 100 | 4 50円 | 1 | 4 50 | 4 合計 | 75
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
以上より，求める期待値は，75 円
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原則全ての事象を考えるのですが，値が 0 (円)になる場合は（掛けると 0 になるので）省略しました。 また，75 = 150/2 (円) です。(金額の合計)×(表の出る確率）になっていることも興味深いと思います。
期待値は，実は賭け事から発展した学問です。この例題はまさにその 1 つです。
法的に許された「宝くじ」などは，まさにこの原理で販売されています。 |
宝くじはお買い得か？
| 例題 3 | 宝くじの賞金と本数を，以下のように決める。賞金の期待値はいくらか。
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全部で100本ですから，求める期待値は，
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5000 × 4 + 1000 × 10 + 500 × 16 + 100 × 20 100 | = 400（円） |
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例題 3 の設定でくじを売るとき，宝くじ業者は1本 800 円で売らなければならないと法律で定められているようです。 法律でこう定められている以上， 1 本 300 円で売られている宝くじの賞金の期待値は 1 本あたり 150 円以下のはずです。 当たりくじの最高金額を 3 億円に設定すると，それだけ多くのくじを売らなくてはいけません。 細かい金額設定はよく分からないのですが，確率 1/10 で末等 300 円が当たります。 業者側から見たら返金額の5分の1を末等で失うことになります。 他の当選金額を除いても，1 等の 3 億円（前後賞を含む計3枚）を配当するには， この分だけでも 6 億円以上の収益を上げなくてはならないわけです。 つまり，3 億円だけを配当させるだけでも，20 万枚を売らなくてはいけないのです。 末等と 1 等だけでも合計 25 万枚売らなくてはならない計算になります。 私は宝くじを買わないので，これ以上の言及はできません・・・ |
知ってると便利な期待値公式
| 性質 | 証明のリンク | ||
|---|---|---|---|
| 〇 さいころ n 個を同時に振ったときに出る目の和の期待値・・・3.5n | 期待値の定理 1，2 を用いる | ||
〇 1 回の試行で事象Ａが起きる確率が pであるとする。これを n 回繰り返すとき，| 二項定理 5
| 〇 m 個の白玉を含む n 個の玉が入った袋がある。 | 未完
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期待値については，興味深いことが多いので，他の事項でも関連があれば紹介しています。