取り出した札の合計の期待値

例題 1	袋の中に 1 と書かれた札が 4 枚， 2 と書かれた札が 3 枚， 3 と書かれた札が 2 枚の，合計 9 枚が入っている。この中から同時に 2 枚を取り出すとき，書かれた札の番号の合計の期待値を求めよ。

早速表にしてみましょう。全事象は ₉C₂＝36 (通り)です

合計 X	場合の数 A	XA の値
2	₄C₂＝6	12
3	4×3=12	36
4	4×2+ ₃C₂＝11	44
5	3×2＝6	30
6	1	6
合計	36	128

よって，求める期待値は	128	=	32
	36		9

確率計算はすべてに区別をつける約束になっているので，次のようにも考えられます。
9 枚から 2 枚選んだとき，特定の札 A を含む取り出し方は（他の 8 枚から 1 枚とった) 8 通りです。
A はどれでも良い（A = 1，1，1，1，2，2，2，3，3 ）ですから，求める期待値は

(1×4 + 2×3 + 3×2)×8	=	32
36	=	9

何度も同じ状況をカウントしているのでとても不思議ですが、この考え方はとても便利です。

ところで，この袋から 1 枚だけを取り出したときに書かれている札の数の期待値は，

1×4 + 2×3 + 3×2 = 16
9 9
・・・ちょうど２倍になるのは偶然ですか？・・・

例題 2 　1 から 6 までの番号のついた札が 1 枚ずつ合計 6 枚ある。
この中から3枚を同時に取り出したとき，取り出された札の合計の期待値を求めよ。

特定の札 A を選んだとき，残りの 2 枚の選び方が ₅C₂ 通りあります。
これより，求める期待値は，

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × ₅C₂ = 15
₆C₃ 2
ちなみに 1 枚をとったときに書かれた札の数の期待値は

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 5
6 2
・・・やっぱり、ちょうど 3 倍になりました。・・・