ビンゴゲームについて

具体的な塗り方について（８～16編）
）

８回以上でビンゴになる場合は重複が発生することが分かりました。
以下、ｎ回目で初めて現れる重複をリストアップしていきます。
d_kはｎ内での場合わけにおいて、
選んだ直線の本数が奇数ならば加算，偶数ならば減算したものです。
ｎ≧８のとき、ｎ回以下でビンゴになる確率は、

となります。
また、直線の名前の定義は次の通りです。
Ａ直線…Freeマスを通る直線（４本）
Ａ１直線…斜め方向のＡ直線（２本）
Ａ２直線…縦(横)方向のＡ直線（２本）
Ｂ直線…Freeマスを通らない直線（８本）
Ｂ１直線…「外側」の辺と接する直線（４本）
Ｂ２直線…Freeマスと接する直線（４本）

マスの名称
Ｍマス…Ａ１直線が通るマス（Ｂ直線は２本通る）…８個
Ｌマス…Ａ２直線が通るマス（Ｂ直線は１本通る）…８個
Ｎマス…Ｂ直線のみが通るマス…８個

これから列挙する例は、「ひとつも無駄なマスを使っていない」場合のみです。
例えばｎ＝８の例からは、どの１つを塗っても新しい直線が決まらないため、
ｎ＝９では割愛します。
また、Ｂ直線のみによってＡ直線が自動的に追加される場合においては、
その重複、本数に関わらず、二項定理の特殊ケースにより組合せは必ず０となります。
(₁Ｃ₀－₁Ｃ₁＝０、₂Ｃ₀－₂Ｃ₁＋₂Ｃ₂＝０、・・・)

ｎ	説明	組合せ	本数	合計（d_k）
８	２本のＡ直線	6	2	-30
８	Ｂ直線と、それに交わるＡ直線	24	2	-30
９	Ａ２直線と、それに平行なＢ直線	8	2	-24
９	交わる２本のＢ直線	16	2	-24
10	２本の平行なＢ直線	12	2	-12
11	Ｂ直線と、それに交わる２本のＡ直線	24	3	48
11	Ａ１直線と、交わる２本のＢ直線ただし、Ｂ直線の交点はＡ１直線上でない	24	3	48
12	３本のＡ直線	4	3	104
	Ａ２直線とそれに平行なＢ直線、その２本と交わるＡ直線またはＢ直線	56	3
	平行な２本のＢ直線と、それに交わるＡ直線	36	3
	１つのＭマスで交わる３直線	8	3
13	交わる２本のＢ直線、３本目のＢ直線	48	3	40
13	２本のＡ２直線と、Ｎマスで交わる２本のＢ直線	8	4	40
14	Ａ２直線と、それに平行な２つのＢ直線	12	3	-136
	Ｂ直線と、それに交わる３本のＡ直線	8	4
	２本のＡ２直線と、Ｍマスで交わる２本のＢ直線	8	4
	平行な２本のＢ直線と、それに交わる２本のＡ直線	36	4
	Ａ１直線とＡ２直線を１本ずつ、選ばれたA1上でないMマスまたは Nマス上で交わるB直線	48	4
	Ａ１直線と、平行な２つのＢ直線、３直線に３点で交わるＢ直線	48	4
15	３本の平行なＢ直線	8	3	-136
	Ａ１直線と、それに平行なＢ直線残り３本のＡ直線のうちの２つ	24	4
	Ｍマスで交わる３本の直線と、Ａ２直線	16	4
	２本のＡ２直線と、交わるＢ直線	16	4
	一つのMマス上で交わる３直線と、B直線	48	4
	Ａ２直線と、それに平行なＢ直線、Ａ２直線と交わる２本のＢ直線	48	4
	２本のＡ１直線と１本のＢ直線。選ばれたＢ直線とＮマスで交わる２本のＢ直線	8	5
16	４本のＡ直線	1	4	-27
	Ａ２直線と、それに平行な２つのＢ直線と、残ったＡ直線の１つ	36	4
	３本の平行なＢ直線と、それに交わるＡ直線	24	4
	Ａ２直線と、それに平行な２つのＢ直線それに交わる１つのＢ直線	48	4
	４本のＢ１直線または４本のB２直線	2	4
	平行なＢ１直線と、それに交わる２つのＢ２直線自動的に２本のＡ１直線を追加する。	0	4～6
	まずＡ１直線を１つ選び、Ｍマスを４個使う。５個目のＭマスで交わるＢ１直線、６個目のＭマスで交わるＢ２直線 (見た目には４つのＢ直線とも解釈できるため、４重複とも５重複とも解釈できる)	0	4or5
	３本のＢ１直線と、選ばれなかったＢ１直線に平行なＢ２直線（上記説明のＢ１とＢ２は交換可）または隣り合うＢ直線と、それに交わり、かつ隣り合わないＢ１直線とＢ２直線	24	4
	２本の平行なB直線と、それに交わる３本のＡ直線	12	5
	２本のＡ１直線Ｎマスで交わるＢ直線、Ａ２直線	16	5
	２本のＡ１直線（１通り）Ｍマスで交わる２本のＢ直線（８通り）２マスだけをつぶすような３本目のＢ直線（４通り）	32	5
	１本のＡ２直線、それに交わる２本のＢ直線とＡ１直線Ａ２に平行で、他の直線と３回交わるＢ直線	48	5

ｎマスを塗って初めて現れる重複について（17≦ｎ≦24）

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