| 定理
| x，y，z は正の整数であるとする。
最初，袋の中には白玉 x 個と赤玉 y 個が入っていて，以下の試行を繰り返す。
試行：袋から玉を 1 個取り出し，取り出された玉と同じ色の玉を z 個追加して戻す。
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この試行を何度繰り返しても，白玉が取り出される確率は常に
| x | である。
| | x + y
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n を自然数とし，n 回目に白玉を取り出す確率を pn とすると，
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明らかに，p1 =
| x | です。 ・・・・・・[1]
| | x + y
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n 回目の試行における全体の個数は，初項 x + y ，公差 z の等差数列に従うので，
n 回目の試行における全体の個数は，x + y + z (n − 1) （個）です。 ・・・・・・[2]
しかし，1 回目に白を取り出したときと，赤玉を取り出したときで，2 回目以降の白玉の個数が変わります。
どんどん繰り返していくと，いよいよその個数が分からなくなります。
そこで，n 回目の試行における白玉の個数を an とおくと，[2] より，
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pn =
| an | が成り立ちます。
| | x + y + z (n − 1)
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これより，an = {x + y + z (n − 1)}×pn ・・・・・・[3]
an の一般項が分からないので，漸化式を作って an を消去することを試みます。
[事象 A] n 回目に白玉を取り出すとき
白玉の個数は an + z (個)となるので，
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この条件下で n + 1 回目の試行において，白玉を取り出す確率は，
| an + z
| | x + y + nz
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よって，n 回目も n + 1 回目も白玉を取り出す確率は，
[事象 B] n 回目に赤玉を取り出すとき
白玉の個数は an 個のままなので，
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この条件下で n + 1 回目の試行において，白玉を取り出す確率は，
| an
| | x + y + nz
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よって，n 回目に赤玉を取り出し， n + 1 回目に白玉を取り出す確率は，
事象 A と事象 B は互いに排反なので，
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pn + 1 =
| pn (an + z) + (1 − pn)an
| =
| z pn + an
| | x + y + nz
| x + y + nz
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ここで，[3] より，
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pn + 1 =
| z pn + {x + y + z (n − 1)}×pn
| =
| (x + y + nz)pn
| = pn
| | x + y + nz
| x + y + nz
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よって，
pn + 1 = pn が成り立つので（隣同士の項が等しいから），
数列 {pn} は常に一定であり，p1 とも等しくなります。
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よって，n の値に関わらず，白玉を取り出す確率は，常に
| x | です。（終）
| | x + y
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袋の中の玉が 3 色以上であっても，白玉と「白でない玉」に分けて考えれば，同じことです。
袋の中の玉が 2 色で，取り出した球と異なる色の玉を戻すことを無限に繰り返すと，
確率は（中和されて） 1/2 に収束することも知られています。
＜参考＞：2016 年 同志社大学の問題
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