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組合せの問題に，色々な条件を加えて考えてみましょう。
| 例題 1
| 男子 4 人，女子 6 人から 4 人を選ぶとき，
男女 2 人ずつとなるような選び方は何通りあるか。
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男子 2 人を選ぶ方法は，4C2 通りあり，
その各々に対して女子 2 人を選ぶ方法が 6C2 通りある。
よって（格言 3 より），4C2 × 6C2 = 90 (通り)
| 例題 2
| A，B，C，…，J の 10 人から 3 人を選ぶとき，
A を含むような選び方は何通りあるか。
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「A さんはすでに選ばれている」と解釈します。
残りの 9 人から 2 人を選べばよいので，求める選び方は，
9C2 = 36 (通り)
| 例題 3
| A，B，C，…，J の 10 人から 3 人を選ぶとき，
A は含まれるが，B を含まないような選び方は何通りあるか。
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例題 2 と同様に，すでに A は含まれており，選びたい残りの人数は 2 人です。
しかし，B は含まないようにすると，選ばれる候補はさらに減って 8 人となります。
よって，8C2 = 28 (通り)
| 例題 4
| 男子 4 人，女子 6 人から 3 人を選ぶとき，
少なくとも 1 人は男子であるような選び方は何通りあるか。
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全体から，条件を満たさない「全員女子」であるものを除きます。→（格言 1）
無条件で 3 人を選ぶ方法は，10C3 通り
このうち，3 人とも女子であるような選び方は，6C3 通り
よって，10C4 - 6C4 = 120 - 20 = 100 （通り）
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閲覧者からの質問：
| とりあえず男子を 1 人選んでしまい，残りは自由として，
4C1×9C2 としました…
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A，B，C，D を男性，E，F，G，H，I，J が女性とすると，
この式では，A さんを選んでから B，E の 2 人を選ぶことと、
B さんを選んでから A，E の 2 人を選ぶことを異なるとして数えてしまっています。
これは格言 6 に違反してしまったことから起きる誤りです。
| 例題 5
| 10 人の生徒から 委員長，副委員長，書記の 3 人を選ぶ方法は何通りあるか。
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「選んで」はいますが，1 人ずつなので，10P3 = 720 （通り）
| 例題 6
| A，B，C，…，J の 10 人から 委員長，副委員長，書記の 3 人を選ぶとき，
A を含むような選び方は何通りあるか。
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A は必ず選ばれているから，A の役職の決め方は 3 通り
残った 9 人から，残った役職を決める方法は，9P2 通り
よって，3 × 9P2 = 216 （通り）
| 例題 7
| A，B，C，…，J の 10 人から 委員長，副委員長 2 人の計 3 人を選ぶとき，
A を含むような選び方は何通りあるか。
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[1] A が委員長のとき，9C2 通り
[2] A が副委員長のとき，9P2 通り
[1]，[2] は同時に起きないので，9C2 + 9P2 = 108 （通り）
かわいい教え子による別解
A を含めた 3 人を選ぶ方法は例題 2 より9C2 通り
選ばれた 3 人うち，委員長になる人の選び方は 3 通りあるから，
3 × 36 = 108 （通り）
目からうろこが落ちました…（笑）
「選んで並べる」は P とは限らない
| 例題 8
| 男子 6 人，女子 4 人から男女 2 人ずつを選んで 1 列に並べる方法は何通りあるか。
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選ばれる「出所」が異なるときは，「選ぶ」と「並べる」を分けて考えましょう。
男子 6 人から 2 人を選ぶ方法は，6C2 通り
女子 4 人から 2 人を選ぶ方法は，4C2 通り
選ばれた 4 人を並べる方法は 4! 通り
以上より，6C2×4C2× 4! = 2160 （通り）
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