サッカーの勝ち点の組合せ

２００２年、日本でワールドカップが開催され、各地で多くの「にわかサッカーファン」が生まれました。
ここでは、何通りの勝ち点が生まれるのか、考えて見ましょう。

問題	４チーム１グループで総当たり戦をして、勝てば勝ったチームに３点，引き分けのときは両チームに１点が与えられる。この場合の勝ち点の与えられ方は全部で何通りか。（９，６，３，０）と、（３，６，９，０）のように、入れ替えれば同じになるものは１通りとして考える。

○が６つのとき

異なる勝ち点のつき方は例えば９＋６＋３＋０＝１８となるので、
３の倍数だけで１８を作る組合せを考えればよくなります。
また、当然のことながら１チームの勝ち点の最大値は９ですし、
２チームが同時に勝ち点９にはならないことにも注意が必要です。
このことから、(9,6,3,0),(9,3,3,3),(6,6,6,0),(6,6,3,3)の４通りができます。

＼	○	○	○	９
×	＼	○	○	６
×	×	＼	○	３
×	×	×	＼	０

＼	×	○	○	６
○	＼	×	○	６
×	○	＼	○	６
×	×	×	＼	０

＼	×	○	○	６
○	＼	×	○	６
×	○	＼	×	３
×	×	○	＼	３

＼	○	○	○	９
×	＼	×	○	３
×	○	＼	×	３
×	×	○	＼	３

以上の４通り。

○が５つのとき

今度は△が２つ増えるので、勝ち点の合計は３×５＋２＝１７となります。
○が６つのときのルールに加えて、勝ち点１は異なるチームにつくことになります。
最も簡単なのは(9,6,1,1)なので、ここから「３点」を動かしてみます。
９点を固定すると、(9,4,3,1),(9,4,4,0)の２通りが増えます。
最初の(9,6,1,1)の６点を固定すると,(6,6,4,1)の１通りが増えます。
さらに,(9,4,3,1)の９点のうちの３点を動かしていくと、新たに増えるのは
(7,6,3,1)と(6,4,4,3)の２通り、
(7,6,3,1)の７を固定すると、(7,4,3,3)の１通りが増えます。

＼	○	○	○	９
×	＼	○	○	６
×	×	＼	△	１
×	×	△	＼	１

＼	○	○	○	９
×	＼	△	○	４
×	△	＼	○	４
×	×	×	＼	０

＼	○	○	○	９
×	＼	○	△	４
×	×	＼	○	３
×	△	×	＼	１

＼	△	○	○	７
△	＼	○	○	７
×	×	＼	○	３
×	×	×	＼	０

＼	○	△	○	７
×	＼	○	○	６
△	×	＼	○	４
×	×	×	＼	０

＼	○	○	△	７
×	＼	○	○	６
×	×	＼	○	３
△	×	×	＼	１

＼	△	○	○	７
△	＼	○	×	４
×	×	＼	○	３
×	○	×	＼	３

＼	×	○	○	６
○	＼	×	○	６
×	○	＼	△	４
×	×	△	＼	１

＼	×	○	○	６
×	○	＼	△	４
×	○	△	＼	４
○	＼	×	×	３

以上の９通り。

○が４つのとき

勝ち点の合計は３×４＋２×４＝１６となります。
最も簡単なのは(9,4,2,1)で、ここから「○」を動かしてみます。
９点のうちの○を移動させると、(7,6,2,1),(6,5,4,1),(6,4,4,2)の３通りが増えます。
(7,6,2,1)にある○を移動させると、(7,5,3,1),(6,4,4,2),(7,4,3,2)の３通りが増え、
・・・と○をひたすら移動させていって重複するものを消すと、次のものが残ります。
（以下、列挙のみで説明は省略します。）

＼	○	○	○	９
×	＼	△	○	４
×	△	＼	△	２
×	×	△	＼	１

＼	△	○	○	７
△	＼	○	○	７
×	×	＼	△	１
×	×	△	＼	１

＼	○	△	○	７
×	＼	○	○	６
△	×	＼	△	２
×	×	△	＼	１

＼	△	○	○	７
△	＼	△	○	５
×	△	＼	○	４
×	×	×	＼	０

＼	△	○	○	７
△	＼	○	△	５
×	×	＼	○	３
×	△	×	＼	１

＼	×	△	○	４
○	＼	×	△	４
△	○	＼	×	４
×	△	○	＼	４

＼	○	○	△	７
×	＼	△	○	４
×	△	＼	○	４
△	×	×	＼	１

＼	○	○	△	７
×	＼	○	△	４
×	×	＼	○	３
△	△	×	＼	２

＼	×	○	○	６
○	＼	△	△	５
×	△	＼	○	４
×	△	×	＼	１

＼	×	○	○	６
○	＼	×	△	４
×	○	＼	△	４
×	△	△	＼	２

＼	△	△	○	５
△	＼	×	○	４
△	○	＼	×	４
×	×	○	＼	３

以上の１１通り。

○が３つのとき

＼	○	○	○	９
×	＼	△	△	２
×	△	＼	△	２
×	△	△	＼	２

＼	△	○	○	７
△	＼	△	○	５
×	△	＼	△	２
×	×	△	＼	１

＼	○	△	○	７
×	＼	△	○	４
△	△	＼	△	３
×	×	△	＼	１

＼	○	△	○	７
×	＼	○	△	４
△	×	＼	△	２
×	△	△	＼	２

＼	×	○	○	６
○	＼	△	△	５
×	△	＼	△	２
×	△	△	＼	２

＼	△	△	○	５
△	＼	△	○	５
△	△	＼	○	５
×	×	×	＼	０

＼	△	△	○	５
△	＼	○	△	５
△	×	＼	○	４
×	△	×	＼	１

＼	△	○	△	５
△	＼	○	△	５
×	×	＼	○	３
△	△	×	＼	２

＼	○	△	△	５
×	＼	○	△	４
△	×	＼	○	４
△	△	×	＼	２

＼	○	×	△	４
×	＼	○	△	４
○	×	＼	△	４
△	△	△	＼	３

以上の１０通り。

○が２つのとき

＼	△	○	○	７
△	＼	△	△	３
×	△	＼	△	２
×	△	△	＼	２

＼	△	△	○	５
△	＼	△	○	５
△	△	＼	△	３
×	×	△	＼	１

＼	△	△	○	５
△	＼	○	△	５
△	×	＼	△	２
△	×	△	＼	２

＼	○	△	△	５
×	＼	△	○	４
△	△	＼	△	３
△	×	△	＼	２

以上の４通り。

○が１つのとき

＼	△	△	○	５
△	＼	△	△	３
△	△	＼	△	３
×	△	△	＼	２

以上の１通り

全て△のとき

＼	△	△	△	３
△	＼	△	△	３
△	△	＼	△	３
△	△	△	＼	３

以上の１通り

以上より、今のところ総計４０が見つかっています。この他に見つけた方はメールください。

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＼	△	△	△	３
△	＼	△	△	３
△	△	＼	△	３
△	△	△	＼	３

＼	△	△	△	３
△	＼	△	△	３
△	△	＼	△	３
△	△	△	＼	３

＼	△	△	△	３
△	＼	△	△	３
△	△	＼	△	３
△	△	△	＼	３