例題：甲、乙２人で、それぞれ勝つ確率が下表に示されるゲームで続けて行う。
（１）３回以内のゲーム数で試合が終了する確率を求めよ。第１回目のゲーム 甲が勝った次のゲーム 乙が勝った次のゲーム
甲の勝つ確率 ２／３ ２／３ １／５
乙の勝つ確率 １／３ １／３ ４／５
（２）４回のゲームで試合が終了したことが分かっている。このとき、甲が勝者となっている確率を求めよ。
（３）甲、乙のどちらかが試合に勝つ確率が大きいかを調べよ。
| （１） |
甲甲の順に勝つ確率は（２／３）＊（２／３）＝４／９ 乙乙の順に勝つ確率は（１／３）＊（４／５）＝４／１５ 乙甲甲の順に勝つ確率は（１／３）＊（１／５）＊（２／３）＝２／４５ 甲乙乙の順に勝つ確率は（２／３）＊（１／３）＊（４／５）＝８／４５ 以上より、求める確率は（４／９）＋（４／１５）＋（２／４５）＋（８／４５）＝１４／１５ |
| （２） |
４回で終了する確率をまず考える。 ４回で終了するのは乙甲乙乙の順または甲乙甲甲の順に勝つときで、 乙甲乙乙の順に勝つときは、 （１／３）＊（１／５）＊（１／３）＊（１／５）＝１／２２５ 甲乙甲甲の順に勝つ確率を考えればよいから、求める確率は、 （２／３）＊（１／３）＊（１／５）＊（２／３）＝４／１３５ よって、求める条件付確率は、 （４／１３５）／（1/225＋5/135）＝20/(3+25)＝５／７
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| （３） | これが一番難しいです。有利不利の問題で確認することは、 甲が勝者になる確率が１／２より大きい…甲のほうが高い 甲が勝者になる確率が１／２に等しい …甲乙ともに等しい 甲が勝者になる確率が１／２より小さい…乙のほうが高い ということで、甲の確率のみに注目していくことになります。（乙が勝者となる確率はその余事象） （１）でお分かりの通り、偶数回のときは甲が勝者になる確率の方が高く、 奇数回の方は乙が勝者になる確率のほうが高くなっています。 もちろん、これで回答にしてしまっても構わないのでしょうが、それでは解答としては不完全である気がします。 そのようなことも考えたうえで、下のように考えてみました。 (i) 偶数回後に甲が勝者となる場合 (ii) 奇数回後に甲が勝者となる場合
以上より甲が勝者になる確率は１１／２１で、甲が勝者になる確率の方が高い。 |