反復試行の確率について

例題 1	1 つのさいころを 5 回振るとき，次の確率をそれぞれ求めよ。 (1)　5 回とも 3 の倍数の目が出る確率 (2)　3 の倍数の目がちょうど 2 回出る確率 (3)　3 の倍数の目が 2 回以上出る確率 (4)　1 の目がちょうど 1 回，3 の倍数の目がちょうど 2 回出る確率

(1)	問題ないと思いますが、念のため… 5 回とも確率 1 が起こり，その各々は互いに独立だから， 3 ( 1 ) 5 = 1 3 243
(2)	これが今回の主テーマです。 なぜ nCr を掛ける必要があるのか，いつも質問されます。 機械的に覚えることはできても，納得できないのでしょうね… 私の授業を受けた生徒からも改めて質問されることがあり(怒りたくなりますが)， まず，次が起こる確率は何を指すか，改めて考えてみましょう。 ( 1 ) 2 ( 2 ) 3 　…(A) 3 3 (A) は，「最初の 3 回は 3 の倍数の目が出て，残り 2 回は 3 の倍数の目が出ない」確率を求めています。 「3 の倍数の目が出る」事象を☆，「3 の倍数の目が出ない」事象を△とすると， ☆☆☆△△ の順に出ることしか数えていませんから… 「ちょうど 2 回 ☆ が起こる」という文章は，「何回目にこれが起こっても構わない」と解釈してください。すると， ☆△☆△△ の順に起こっても良いし，△☆△☆△ の順に起こっても良いことになります。 これらは積の順序を入れ替えると，すべて (A) と等しくなります。つまり， 「ちょうど 2 回 ☆ が起こる」は，☆☆☆△△ を並べ替えた分を，すべて加算しなくてはいけません。 ☆☆☆△△ の並べ方は，同じ文字を含む順列より， 5! 通りあります。 2!3! 一方で，考えている事象が「起こる」と「起こらない」の 2 つの事象しか考えていないとき， 5 回の試行のうち，2 箇所を ☆ に取り換えると，残りは自動的に △ になります。よって，求める確率は， 5C2 × ( 1 ) 2 ( 2 ) 3 = 80 3 3 243 公式 　ある試行を 1 回行って，事象 A が起こる確率が p であるとする。 この試行を n 回繰り返したとき，事象 A がちょうど r 回起こる確率は nCr × pr × (1 − p)n − r 覚え方の 1 例：（並べ方）×(起こる確率)回数 ×(起こらない確率)残り回数
(3)	「ちょうど 2 回」，「ちょうど 3 回」，「ちょうど 4 回」，「5 回とも」と場合分けし，加えてもかまいませんが， なんだか要領が悪い気がするときは，余事象も考えてみましょう。 余事象は「 1 回も 3 の倍数の目が出ない」または「ちょうど 1 回 3 の倍数の目が出る 」ですから，こちらの方が早そうです。 [A]　1 回も 3 の倍数の目が出ないとき，これが起こる確率は， ( 2 ) 5 = 1 3 243 [B]　ちょうど 1 回 3 の倍数の目が出るとき，これが起こる確率は， 5C1( 1 ) 1 ( 2 ) 4 = 80 3 3 243 余事象 [A]，[B] は互いに排反であるから，求める確率は， 1 − 1 + 80 = 2 243 3
(4)	反復試行の中で 3 つ以上の事象を考えるときは，先ほど紹介した覚え方に戻りましょう。 「1 の目が出る」を ☆，「3 の倍数の目が出る」を △，「その他の目が出る」を ◆ とすると， ☆△△◆◆ の順に起こった確率に，☆△△◆◆ の並べ方を掛ければ良いことが分かります。 1 回の試行について， ☆ が起こる確率は 1 ，△ が起こる確率は 1 ，◆ が起こる確率は 1 6 3 2 これらが起こる順序も考慮すると，求める確率は， 5! × 1 × ( 1 ) 2 × ( 1 ) 2 = 5 1!2!2! 6 3 2 36

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