ビンゴゲームについて

７回以下の確率はこちら

ＦＲＥＥを通る縦（横）の直線をＡ１直線（２本） ＦＲＥＥを通る斜めの直線をＡ２直線（２本） Ａ１直線とＡ２直線をまとめてＡ直線 その他の直線をＢ直線（８本）とします。 ７回以下でビンゴになる確率は，（４×71Ｃn-4＋８×70Ｃn-5）／75Ｃnなのですが、 この式にｎ≧４５を代入すると１を超えてしまいます。 逆に７回以下で成立するのは「同時に２つ以上ののビンゴが成立しない」からなのです。

８回以内にBINGOとなる確率 参考のために、次の２つの図を用意します。 図１　　図２ まず、ちょうど８回で上がる確率を考えます。そのため、７個は一度に取ったものとします。 よって、ここでの全事象は75Ｃ7×68通りとなります。 Ａ１直線でBINGOになるとき Ａ１直線は２本、上がりマスの選び方は４通り。 ハズレの71Ｃ4通りのうち、 他のＡ直線を選んでいるもの（３通り）と、交わるＢ直線（４本）を除くので、 ２×４×（71Ｃ4−７）＝7773024通り。 Ａ２直線でBINGOになるとき Ａ２直線は２本、上がりマスの選び方は４通り。 ハズレの71Ｃ4通りのうち、 他のＡ直線を選んでいるもの（３通り）と、交わるＢ直線（８本）を除くので、 ２×４×（71Ｃ4−11）＝7772992通り。 Ｂ直線でBINGOになるとき 直線の選び方は８本あり、あがりマスの選び方は５通り。 はずれの選び方は70Ｃ3通り。 Ａ直線と３回交わるので、それを除いて、 よって、８×５×（70Ｃ3−３）＝2189480通り。 BINGOになったときに２つの直線を同時に選ぶとき 図４より、Ｂ直線の１つずつにつき、３本のＡ直線と交わるので、８×４＝２４通り。 以上より、ちょうど８回でBINGOになる確率は （7773024＋7772992＋2189480+24）／（75Ｃ7×68）＝147796/1124736915 ８回以内でBINGOになる確率は147796/1124736915＋1078/8629695＝864886/3374210745 およそ3900回に１度の割合です。 さて、今は直接求めて見ましたが、８個を一度に取ったときに、一本以上の直線を選んでいる確率 （４×71Ｃ4＋８×70Ｃ3−30）／75Ｃ8と等しくなります。 ３０を引くのは、次の２つを重複して数えているからです。 (i-a)　２つのＡ直線を選ぶとき　（4Ｃ2＝6） (i-b)　交わるＡ直線とＢ直線を選ぶとき　(8×3＝24) ９回以内にビンゴになる確率も、同様に重複の分だけ引けばよいことになります。 ９回以内にBINGOとなる確率 ８回以内のときと同様に、何も考えずに計算すると、分子は ４×71Ｃ5＋８×70Ｃ4となりますが、 次のものが重複して数えています。 (i-a,b)と１回はずれ(30×67Ｃ1) (ii-a)　平行なＡ直線とＢ直線　(2×4＝8) (ii-b)　交わる２本のＢ直線　(4×4＝16) よって、９回以内にBINGOになる確率は、 （４×71Ｃ5＋８×70Ｃ4−2034）/75Ｃ9＝9902127/20932603696 およそ2100回に一度になります。

さて、以下のすべての場合において、上の(i-a,b),(ii-a,b)の重複は必ず引くことになります。 そのため、先にｎ個塗ったときに初めて現れる重複をチェックしていくことにします。

ｎマスを塗って初めて現れる重複について（８≦ｎ≦16）
ｎマスを塗って初めて現れる重複について（17≦ｎ≦24）
ビンゴの確率計算について